最简单的原因：顶点的角
为什么只有五个柏拉图固体？最简单的原因是，在一个多面体里：
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至少有三面（或更多）在每个顶点连接。
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我们也知道柏拉图固体所有的的面是相同的正多边形：
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正三角形的内角是 60°，所以顶点可以有：
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正方形的内角是 90°，所以只可以有：
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正五边形的内角是 108°，所以只有：
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正六边形的内角是 120°，而 3×120°=360°。 这个不行，因为如果顶点上的角加起来是 360°，就会形成一个平面，不再是顶点了。 所以不能继续下去了。 |
因此，结果是：
| 在每个顶点有： | 在顶点的角 （小于 360°） |
固体 | |
|---|---|---|---|
| 3个三角形 | 180° | 四面体 |  |
| 4个三角形 | 240° | 八面体 |  |
| 5个三角形 | 300° | 二十面体 |  |
| 3个正方形 | 270° | 立方体 |  |
| 3个五边形 | 324° | 十二面体 |  |
任何其他的组合在顶点都会有等于或大于 360°的角，这是不可能的。例子：4个正五边形（4×108° = 432°），3个正六边形（3×120° = 360°），等等都不可能）。
这是最简单的理由。
另一个理由（拓扑学）
简而言之：不可能有多于 5个柏拉图固体，因为任何其他组合都违背关于变、顶点与面的几何定理。
欧拉公式
听过欧拉定理吗？
欧拉定理说：在任何凸多面体（包括柏拉图固体在内）中，面个数加顶点个数（角）减棱个数永远等于 2
这可以写成方程：F + V - E = 2
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用立方体来试试： 立方体有 6个面、8个顶点、12条棱， 所以： 6 + 8 - 12 = 2 |
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要深入了解欧拉公式，想象在立方体上加一条棱（例如在一个面上的对角线）。 7 + 8 - 13 = 2 |
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同样，如果加一个顶点（例如在一条棱的中点）， 6 + 9 - 13 = 2。 "无论如何，答案还是 2" |
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面相接
想象一个柏拉图固体：它的面是什么形状？在每个顶点有有几个面相接在一起？
| 面可以是三角形（三条边）、正方形（四条边）等等。 | |
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以 "s" 为每个面的边的个数。 |
| 在每个顶点有几个面？在立方体上，有 3个面在每个顶点相接。在八面体上，每个顶点有 4个。 | |
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以 "m" 为在每个顶点相接的面的个数。 |
（这两个数值决定了多面体是什么图形）
把多面体展开！
现在我们把多面体的每一面剪出来。
剪出来以后，每个面是一个平面图形，边的个数是棱的双倍（因为我们把多面体的每条边一分为二）。
例子：立方体剪开后是六个正方形。
每个正方形有 4条边，总共有 24条边（立方体有 12条棱）.
所以展开后边个数是立方体的棱个数 "E"的一倍 = 2E
但这也是所有剪出来的图形的边的的总数，就是 s（每面的边个数） 乘以 F（面个数）。
这可以写成方程：sF = 2E
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同样，把多面体展开时，一个顶点被剪开成几个平面的角。 以立方体为例，一个顶点被剪开成三个角，所以展开后角的个数是立方体顶点个数的三倍。 |
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- 展开后，剪出来的平面的角的总数是：在原来的多面体上每一个顶点相接的面的个数（m）乘以多面体的顶点个数（V）= mV
- 展开后平面的边的总数是：原来的多面体的棱个数的两倍 = 2E
展开后的平面图形是相同的多边形，而多边形的角个数和边个数是相等的（正方形有 4个角和 4条边、五边形有 5个角和 5条边等等。）
这可以写成方程：mV = 2E
把方程集合在一起
我们有所有需要的方程了，把它们写在一起，并重排：
sF = 2E，所以 F = 2E/s
mV = 2E，所以 V = 2E/m
代入 "F+V-E=2":
F + V - E = 2
2E/s + 2E/m - E = 2
再做一些重排……全部除以 "2E"：
1/s + 1/m - 1/2 = 1/E
"E" 是棱的个数，不能小于零，所以 "1/E" 也不能小于零：
1/s + 1/m - 1/2 > 0
就是说：
1/s + 1/m > 1/2
我们现在只需要用不同的:
- "s" （每面的边个数，不能小于3），
- "m" （在每个顶点相接的面的个数，不能小于 3）
来试试！
有什么可能
可能的答案是：
| s | m | 1/s+1/m | > 0.5？ |
|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 0.666…… |  |
| 3 | 4 | 0.583…… | |
| 4 | 3 | 0.583…… | |
| 4 | 4 | 0.5 |  |
| 5 | 3 | 0.533…… | |
| 3 | 5 | 0.533…… | |
| 5 | 4 | 0.45 | |
| 4 | 5 | 0.45 | |
| 5 | 5 | 0.4 | |
| 等等…… | …… | …… | |
结果：只有 5答案个符合上面的不等式！其他全是不可能的。
最后，我们要确定真的有这些多面体：
| s | m | 意思 | 固体 | |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 每个顶点有三个三角形 | 四面体 |  |
| 3 | 4 | 每个顶点有四个三角形 | 八面体 |  |
| 4 | 3 | 每个顶点有三个正方形 | 立方体 |  |
| 5 | 3 | 每个顶点有三个五边形 | 十二面体 |  |
| 3 | 5 | 每个顶点有五个三角形 | 二十面体 |  |
所以 5个都是真实的多面体。
大功告成。
把 "s" 和 "m" 的值写在大括号 {} 之间便是多面体的施莱夫利符号（德语 "Schläfli " 符号）:
更新:20210423 104211